Estimation of Morse indices:

En la tesis se desarrolla un método para estimar índices de Morse en una variedad topológica desconocida a partir de una muestra de datos, empleando técnicas de reducción de dimensionalidad y clústeres. Su objetivo es aproximar la topología de la variedad en el espacio a partir de puntos críticos, definidos como aquellos donde el espacio tangente es ortogonal a un vector fijo. Para esto, emplea la teoría de Morse, que se enfoca en el estudio de funciones diferenciables con puntos críticos no degenerados y define el índice de Morse mediante el número de valores propios negativos de la matriz Hessiana en esos puntos. Mediante el uso de Análisis de Componentes Principales (PCA), estima el espacio tangente en cada clúster de puntos candidatos y calcula la matriz Hessiana de la función Morse, lo que le permite determinar el índice de Morse en dichos clústeres. Como resultado, presenta ejemplos aplicados a configuraciones complejas, como hélices y toros, explicando cómo la curvatura de la variedad y el tamaño de los clústeres afectan la precisión de los índices estimados, y subrayando las dificultades específicas encontradas en variedades altamente curvas y de alta dimensión.